代数例

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

ステップ 2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{3} (x)$ を簡約します。

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

ステップ 3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x^{3} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

ステップ 3.1.3.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

ステップ 3.1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

ステップ 3.1.4.3

式を書き換えます。

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

ステップ 5

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

ステップ 6

$3$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 2 = 3 x$

ステップ 7

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

ステップ 8

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 - 3 x$ を因数分解します。

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ステップ 8.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 8.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 9

$(x - 2) (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 9.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 9.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

ステップ 9.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

ステップ 9.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 9.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 9.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 9.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 9.2.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

ステップ 9.2.2

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

ステップ 10

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 10.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x - 1) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 12

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 13

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 14

最終解は $(x - 2) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 1$

代数 例

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