代数例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{2}$ と ${(x - 2)}^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{{(x - 2)}^{2}}{2} + 3$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = 3$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, 3)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, \frac{7}{2})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{5}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(2, 3)$

焦点： $(2, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{5}{2}$

方向：上に開

頂点： $(2, 3)$

焦点： $(2, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{5}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - 2 \cdot 0 + 5$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{2} - 2 \cdot 0 + 5$

ステップ 2.2.1.2

$0$ を $2$ で割ります。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 5$

ステップ 2.2.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 5$

ステップ 2.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 5$

ステップ 2.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (0) = 5$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 2.3

$x = 0$ における $y$ 値は $5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 + 5$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 5$

ステップ 2.5.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 + 5$

ステップ 2.5.2

公分母を求めます。

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ステップ 2.5.2.1

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} + 5$

ステップ 2.5.2.2

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 5$

ステップ 2.5.2.3

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 5$

ステップ 2.5.2.4

$5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1}$

ステップ 2.5.2.5

$\frac{5}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.5.2.6

$\frac{5}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 4 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.5.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 4 + 10}{2}$

ステップ 2.5.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$1$ から $4$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 3 + 10}{2}$

ステップ 2.5.5.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$f (1) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.5.6

最終的な答えは $\frac{7}{2}$ です。

$\frac{7}{2}$

ステップ 2.6

$x = 1$ における $y$ 値は $\frac{7}{2}$ です。

$y = \frac{7}{2}$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 2 \cdot 4 + 5$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4) = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 + 5$

ステップ 2.8.1.2

$16$ を $2$ で割ります。

$f (4) = 8 - 2 \cdot 4 + 5$

ステップ 2.8.1.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 8 - 8 + 5$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$8$ から $8$ を引きます。

$f (4) = 0 + 5$

ステップ 2.8.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$f (4) = 5$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 2.9

$x = 4$ における $y$ 値は $5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - 2 \cdot 3 + 5$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 + 5$

ステップ 2.11.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (3) = \frac{9}{2} - 6 + 5$

ステップ 2.11.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$- 6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} + 5$

ステップ 2.11.2.2

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} + 5$

ステップ 2.11.2.3

$\frac{- 6}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 5$

ステップ 2.11.2.4

$5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1}$

ステップ 2.11.2.5

$\frac{5}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.11.2.6

$\frac{5}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.11.3

公分母の分子をまとめます。

$f (3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.11.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.4.1

$- 6$ に $2$ をかけます。

$f (3) = \frac{9 - 12 + 5 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.11.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$f (3) = \frac{9 - 12 + 10}{2}$

ステップ 2.11.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.5.1

$9$ から $12$ を引きます。

$f (3) = \frac{- 3 + 10}{2}$

ステップ 2.11.5.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$f (3) = \frac{7}{2}$

ステップ 2.11.6

最終的な答えは $\frac{7}{2}$ です。

$\frac{7}{2}$

ステップ 2.12

$x = 3$ における $y$ 値は $\frac{7}{2}$ です。

$y = \frac{7}{2}$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 5 \\ 1 & \frac{7}{2} \\ 2 & 3 \\ 3 & \frac{7}{2} \\ 4 & 5 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(2, 3)$

焦点： $(2, \frac{7}{2})$

対称軸： $x = 2$

準線： $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 5 \\ 1 & \frac{7}{2} \\ 2 & 3 \\ 3 & \frac{7}{2} \\ 4 & 5 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例