代数例

$x^{10} - 31 x^{5} - 32 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{10}$ を ${(x^{5})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{5})}^{2} - 31 x^{5} - 32 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{5}$ とします。 $u$ を $x^{5}$ に代入します。

$u^{2} - 31 u - 32 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 31 u - 32$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $- 31$ です。

$- 32, 1$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 32) (u + 1) = 0$

$(u - 32) (u + 1) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

$(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{5} - 32 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

ステップ 3

$x^{5} - 32$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{5} - 32$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 32 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{5} - 32 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $32$ を足します。

$x^{5} = 32$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{32}$

ステップ 3.2.3

$\sqrt[5]{32}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$32$ を $2^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{2^{5}}$

ステップ 3.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

ステップ 4

$x^{5} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{5} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{5} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{5} = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{- 1}$

ステップ 4.2.3

$\sqrt[5]{- 1}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

ステップ 4.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 5

最終解は $(x^{5} - 32) (x^{5} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

ステップ 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$