代数例

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

ステップ 1.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.1.1

$- 5$ を $- 5 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} - 5 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$- 5$ を $1$ プラス $- 6$ に書き換える

$2 u^{2} + (1 - 6) u - 3 = 0$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 1 u - 6 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$2 u^{2} + u - 6 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} + u) - 6 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1) = 0$

ステップ 1.3.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u + 1) (u - 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 e^{x} + 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

ステップ 3

$2 e^{x} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 e^{x} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 e^{x} + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 e^{x} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 e^{x} = - 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2 e^{x}) = \ln (- 1)$

ステップ 3.2.3

$\ln (- 1)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.2.4

$2 e^{x} = - 1$ の解はありません

解がありません

ステップ 4

$e^{x} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$e^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $e^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$e^{x} = 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 4.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 4.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 4.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 4.2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

ステップ 5

最終解は $(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (3)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (3)$

10進法形式：

$x = 1.09861228 \dots$

代数 例

代数例