代数例

$\log_{2} (- x) + \log_{2} (x + 12) = 5$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} (- x (x + 12)) = 5$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (- x \cdot x - x \cdot 12) = 5$

ステップ 1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1

$x$ を移動させます。

$\log_{2} (- (x \cdot x) - x \cdot 12) = 5$

ステップ 1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} (- x^{2} - x \cdot 12) = 5$

ステップ 1.4

$12$ に $- 1$ をかけます。

$\log_{2} (- x^{2} - 12 x) = 5$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{2} (- x^{2} - 12 x) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{5} = - x^{2} - 12 x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- x^{2} - 12 x = 2^{5}$ として書き換えます。

$- x^{2} - 12 x = 2^{5}$

ステップ 3.2

$2$ を $5$ 乗します。

$- x^{2} - 12 x = 32$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $32$ を引きます。

$- x^{2} - 12 x - 32 = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ を $- x^{2} - 12 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

ステップ 3.4.1.2

$- 1$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (12 x) - 32 = 0$

ステップ 3.4.1.3

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (12 x) - 1 \cdot 32 = 0$

ステップ 3.4.1.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (12 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 12 x) - 1 \cdot 32 = 0$

ステップ 3.4.1.5

$- 1$ を $- (x^{2} + 12 x) - 1 (32)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

ステップ 3.4.2

因数分解。

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ステップ 3.4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 12 x + 32$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $32$ で、その和が $12$ です。

$4, 8$

ステップ 3.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x + 4) (x + 8)) = 0$

ステップ 3.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x + 4) (x + 8) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 3.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.7

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 3.8

最終解は $- (x + 4) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, - 8$

代数 例

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