代数例

$2 \ln (e^{\ln (2 x)}) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の法則を利用して指数の外に $\ln (2 x)$ を移動します。

$2 (\ln (2 x) \ln (e)) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

ステップ 1.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 (\ln (2 x) \cdot 1) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

ステップ 1.3

$\ln (2 x)$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (2 x) - \ln (e^{\ln (10 x)}) = \ln (30)$

ステップ 1.4

対数の法則を利用して指数の外に $\ln (10 x)$ を移動します。

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \ln (e)) = \ln (30)$

ステップ 1.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 \ln (2 x) - (\ln (10 x) \cdot 1) = \ln (30)$

ステップ 1.6

$\ln (10 x)$ に $1$ をかけます。

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) = \ln (30)$

ステップ 2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$2 \ln (2 x) - \ln (10 x) - \ln (30)$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (2 x)$ を簡約します。

$\ln ({(2 x)}^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

ステップ 3.1.1.2

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\ln (2^{2} x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

ステップ 3.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\ln (4 x^{2}) - \ln (10 x) - \ln (30) = 0$

ステップ 3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{4 x^{2}}{10 x}) - \ln (30) = 0$

ステップ 3.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{4 x^{2}}{10 x}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.4

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{10 x}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (5 x)}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{\frac{2 x^{2}}{5 x}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.5.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{5 x}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.5.2.1

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{\frac{x (2 x)}{x \cdot 5}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{\frac{2 x}{5}}{30}) = 0$

ステップ 3.1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

ステップ 3.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.7.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{30}) = 0$

ステップ 3.1.7.2

$2$ を $30$ で因数分解します。

$\ln (\frac{2 (x)}{5} \cdot \frac{1}{2 (15)}) = 0$

ステップ 3.1.7.3

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{2 x}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 15}) = 0$

ステップ 3.1.7.4

式を書き換えます。

$\ln (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{15}) = 0$

ステップ 3.1.8

$\frac{x}{5}$ に $\frac{1}{15}$ をかけます。

$\ln (\frac{x}{5 \cdot 15}) = 0$

ステップ 3.1.9

$5$ に $15$ をかけます。

$\ln (\frac{x}{75}) = 0$

ステップ 4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{x}{75})} = e^{0}$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x}{75}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{x}{75}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{x}{75} = e^{0}$ として書き換えます。

$\frac{x}{75} = e^{0}$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $75$ を掛けます。

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$75$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$75 \frac{x}{75} = 75 e^{0}$

ステップ 6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 75 e^{0}$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$75 e^{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x = 75 \cdot 1$

ステップ 6.3.2.1.2

$75$ に $1$ をかけます。

$x = 75$

代数 例

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