代数例

${(y^{3} - 4 x)}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(y^{3})}^{3 - k} \cdot {(- 4 x)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(y^{3})}^{3 - 0} \cdot {(- 4 x)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(y^{3})}^{3 - 1} \cdot {(- 4 x)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(y^{3})}^{3 - 2} \cdot {(- 4 x)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(y^{3})}^{3 - 3} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(y^{3})}^{3} \cdot {(- 4 x)}^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

${(y^{3})}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(y^{3})}^{3} \cdot {(- 4 x)}^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.2

${(y^{3})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{3 \cdot 3} \cdot {(- 4 x)}^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y^{9} \cdot {(- 4 x)}^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.3

積の法則を $- 4 x$ に当てはめます。

$y^{9} \cdot ({(- 4)}^{0} x^{0}) + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${(- 4)}^{0} y^{9} x^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 y^{9} x^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.6

$y^{9}$ に $1$ をかけます。

$y^{9} x^{0} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y^{9} \cdot 1 + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.8

$y^{9}$ に $1$ をかけます。

$y^{9} + 3 \cdot {(y^{3})}^{2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.9

${(y^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.9.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{9} + 3 \cdot y^{3 \cdot 2} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y^{9} + 3 \cdot y^{6} \cdot {(- 4 x)}^{1} + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.10

簡約します。

$y^{9} + 3 y^{6} \cdot (- 4 x) + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{9} + 3 \cdot - 4 y^{6} x + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.12

$3$ に $- 4$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 \cdot {(y^{3})}^{1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.13

${(y^{3})}^{1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.13.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 \cdot y^{3 \cdot 1} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.13.2

$3$ に $1$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 \cdot y^{3} \cdot {(- 4 x)}^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.14

積の法則を $- 4 x$ に当てはめます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 y^{3} \cdot ({(- 4)}^{2} x^{2}) + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.15

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 \cdot {(- 4)}^{2} y^{3} x^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.16

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 3 \cdot 16 y^{3} x^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.17

$3$ に $16$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + 1 \cdot {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.18

${(y^{3})}^{0}$ に $1$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + {(y^{3})}^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.19

${(y^{3})}^{0}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.19.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + y^{3 \cdot 0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.19.2

$3$ に $0$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + y^{0} \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.20

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + 1 \cdot {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.21

${(- 4 x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + {(- 4 x)}^{3}$

ステップ 4.22

積の法則を $- 4 x$ に当てはめます。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} + {(- 4)}^{3} x^{3}$

ステップ 4.23

$- 4$ を $3$ 乗します。

$y^{9} - 12 y^{6} x + 48 y^{3} x^{2} - 64 x^{3}$

代数 例

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