代数例

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

ステップ 2.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (2)$ を簡約します。

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

ステップ 2.1.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

ステップ 2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

ステップ 2.1.3

$8$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\ln (8 x^{2}) = 5$

ステップ 3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\ln (8 x^{2}) = 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{5} = 8 x^{2}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $8 x^{2} = e^{5}$ として書き換えます。

$8 x^{2} = e^{5}$

ステップ 5.2

$8 x^{2} = e^{5}$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$8 x^{2} = e^{5}$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

ステップ 5.4

$\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ を $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

ステップ 5.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$e^{5}$ を ${(e^{2})}^{2} e$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.2.1.1

$e^{4}$ を因数分解します。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$e^{4}$ を ${(e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

ステップ 5.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

ステップ 5.4.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.3.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

ステップ 5.4.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 5.4.4

$\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.4.5.1

$\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.4.5.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 5.4.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 5.4.5.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 5.4.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.4.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.4.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.4.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.4.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.4.5.7.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 5.4.5.7.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.4.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.4.7

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

ステップ 6

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

10進法形式：

$x = 4.30716204 \dots$

代数 例

代数例