代数例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 4$

ステップ 1

$x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{3}$ を $x^{4} - 2 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} x - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x^{3}$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 2 - 5 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x^{3}$ を $x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$ で因数分解します。

$x^{3} (x - 2) - 5 x^{2} + 8 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.3

群による因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 5 \cdot 4 = - 20$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$x^{3} (x - 2) - 5 x^{2} + 8 (x) + 4 = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

$8$ を $- 2$ プラス $10$ に書き換える

$x^{3} (x - 2) - 5 x^{2} + (- 2 + 10) x + 4 = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} (x - 2) - 5 x^{2} - 2 x + 10 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{3} (x - 2) - 5 x^{2} - 2 x + 10 x + 4 = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} (x - 2) + x (- 5 x - 2) - 2 (- 5 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.3.3

最大公約数 $- 5 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{3} (x - 2) + (- 5 x - 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.4

$x - 2$ を $x^{3} (x - 2) + (- 5 x - 2) (x - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.4.1

$x - 2$ を $x^{3} (x - 2)$ で因数分解します。

$(x - 2) x^{3} + (- 5 x - 2) (x - 2) = 0$

ステップ 2.1.4.2

$x - 2$ を $(- 5 x - 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 5 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.4.3

$x - 2$ を $(x - 2) x^{3} + (x - 2) (- 5 x - 2)$ で因数分解します。

$(x - 2) (x^{3} - 5 x - 2) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 5 x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.5.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.5.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.5.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} - 5 \cdot - 2 - 2$

ステップ 2.1.5.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 5 \cdot - 2 - 2$

ステップ 2.1.5.1.3.3

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 + 10 - 2$

ステップ 2.1.5.1.3.4

$- 8$ と $10$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.1.5.1.3.5

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.5.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 5 x - 2}{x + 2}$

ステップ 2.1.5.1.5

$x^{3} - 5 x - 2$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$2$

ステップ 2.1.5.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 2.1.5.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 2.1.5.1.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 2.1.5.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 2.1.5.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 2.1.5.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$

ステップ 2.1.5.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.1.5.12

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							-	$x$	-	$2$

ステップ 2.1.5.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$

ステップ 2.1.5.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$x$	-	$2$
							+	$x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.1.5.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 1$

ステップ 2.1.5.1.6

$x^{3} - 5 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) ((x + 2) (x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x^{2} - 2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 2, - 2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 2, - 2, 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots$

ステップ 4

代数 例

代数例