代数例

${(x - 3)}^{\frac{3}{2}} = 27$

ステップ 1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

${(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 27 = 0$

ステップ 2

${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ を ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ に書き換えます。

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - 27 = 0$

ステップ 3

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{3} - 3^{3} = 0$

ステップ 4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ であり、 $b = 3$ です。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) ((x - 3) + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2

簡約します。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x - 3 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.3

$3$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x - 3 + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.4

$3$ を $2$ 乗します。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x - 3 + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 9) = 0$

ステップ 5.5

$- 3$ と $9$ をたし算します。

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 6) = 0$

ステップ 6

$({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 6)$ を簡約します。

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ステップ 6.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3) (x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 6)$ を展開します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.2

指数を足して ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 {(x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 {(x - 3)}^{\frac{2}{2}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 {(x - 3)}^{1} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$3 {(x - 3)}^{1}$ を簡約します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 (x - 3) + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.4

分配則を当てはめます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x + 3 \cdot - 3 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$3$ に $- 3$ をかけます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x - 9 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.6

$6$ を ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x - 9 + 6 \cdot {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 3 (3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.7

$3$ に $- 3$ をかけます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 6 = 0$

ステップ 6.2.1.8

$- 3$ に $6$ をかけます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

ステップ 6.2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x + 3 x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 18$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.2.1.1

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} + 0 - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

ステップ 6.2.2.1.2

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 9 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

ステップ 6.2.2.2

$- 9$ から $18$ を引きます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 27 + 6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 6.2.2.3

$6 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ から $9 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 27 - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 6.2.2.4

${(x - 3)}^{\frac{1}{2}} x - 27 - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$x {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} - 27 - 3 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 7

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 12$

ステップ 8

代数 例

代数例