代数例

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

分数 $\frac{x - 1}{x + 1}$ を2つの分数に分割します。

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

ステップ 3.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

ステップ 3.1.3

公分母を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

ステップ 3.1.3.2

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 3.1.3.3

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

ステップ 3.1.5.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

ステップ 3.1.6

$x$ から $5 x$ を引きます。

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

ステップ 3.1.7

$- 1$ から $5$ を引きます。

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

ステップ 3.1.8

$2$ を $- 4 x - 6$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.8.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

ステップ 3.1.8.2

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

ステップ 3.1.8.3

$2$ を $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

ステップ 3.1.9

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

ステップ 3.1.10

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

ステップ 3.1.11

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

ステップ 3.1.12

$- (2 x + 3)$ を $- 1 (2 x + 3)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

ステップ 3.1.13

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x + 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$1, x + 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x + 1$

ステップ 3.3

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ の各項に $x + 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.3.1

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ の各項に $x + 1$ を掛けます。

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.2.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

ステップ 3.3.3.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

ステップ 3.3.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

ステップ 3.3.3.3

掛け算します。

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ステップ 3.3.3.3.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

ステップ 3.3.3.3.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.4.1.1

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

ステップ 3.4.1.2

$x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 5 x = - 6$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

ステップ 3.4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 3.4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) (x + 3) = 0$

ステップ 3.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3.4.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.4.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.4.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.4.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.4.7

最終解は $(x + 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 3$

ステップ 4

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

代数 例

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