代数例

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

ステップ 1

有理根検定を用いて $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

ステップ 1.3

$0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$0.5$ を多項式に代入します。

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.2

$0.5$ を $3$ 乗します。

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.3

$6$ に $0.125$ をかけます。

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.4

$0.5$ を $2$ 乗します。

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.5

$25$ に $0.25$ をかけます。

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.6

$0.75$ と $6.25$ をたし算します。

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

ステップ 1.3.7

$- 24$ に $0.5$ をかけます。

$7 - 12 + 5$

ステップ 1.3.8

$7$ から $12$ を引きます。

$- 5 + 5$

ステップ 1.3.9

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

ステップ 1.5

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ を $2 x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

ステップ 1.5.2

被除数 $6 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $28 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $28 x^{2} - 14 x$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 10 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 10 x + 5$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{2} + 14 x - 5$

ステップ 1.6

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$14$ を $14 x$ で因数分解します。

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

ステップ 2.1.1.2

$14$ を $- 1$ プラス $15$ に書き換える

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$

代数 例

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