代数例

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

ステップ 1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

ステップ 1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

ステップ 2

最大公約数 $x^{3} - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

ステップ 3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

ステップ 4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

ステップ 6

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

ステップ 7

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

ステップ 8

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 9

因数分解。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 9.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

ステップ 9.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

ステップ 9.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 10

指数をまとめます。

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ステップ 10.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 10.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 11

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

ステップ 12

1のすべての数の累乗は1です。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

ステップ 13

因数分解。

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ステップ 13.1

因数分解した形で $x^{4} + x^{2} + 1$ を書き換えます。

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ステップ 13.1.1

中項を書き換えます。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

ステップ 13.1.2

項を並べ替えます。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

ステップ 13.1.3

最初の3項を完全平方式で因数分解します。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

ステップ 13.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2} + 1$ であり、 $b = x$ です。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

ステップ 13.1.5

簡約します。

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ステップ 13.1.5.1

項を並べ替えます。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

ステップ 13.1.5.2

項を並べ替えます。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

ステップ 13.2

不要な括弧を削除します。

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

ステップ 14

指数をまとめます。

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ステップ 14.1

$x^{2} + x + 1$ を $1$ 乗します。

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

ステップ 14.2

$x^{2} + x + 1$ を $1$ 乗します。

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

ステップ 14.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

ステップ 14.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

代数 例

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