代数例

$x^{3} + 27 = 0$

ステップ 1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 3^{3} = 0$

ステップ 2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

$x^{2} - 3 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x^{2} - 3 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.4.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.3

$9$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.4

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.7

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.7.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.7.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.1.9

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

最終解は $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

代数 例

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