代数例

$3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$

ステップ 1

$3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $3 x^{4} - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$x (3 x^{3}) - 9 x^{3} + x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- 9 x^{3}$ で因数分解します。

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x$ を $x (3 x^{3}) + x (- 9 x^{2})$ で因数分解します。

$x (3 x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.1.6

$x$ を $x (3 x^{3} - 9 x^{2}) + x \cdot x$ で因数分解します。

$x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x) + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.1.7

$x$ を $x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (3 x^{3} - 9 x^{2} + x - 3) = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((3 x^{3} - 9 x^{2}) + x - 3) = 0$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.3

因数分解。

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ステップ 2.1.3.1

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((x - 3) (3 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 3) (3 x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$3 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$3 x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$3 x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x^{2} = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x^{2} = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

ステップ 2.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1

$- \frac{1}{3}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.5.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 2.5.2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.5.2.4.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2.4.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 2.5.2.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2.4.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2.4.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.5.2.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.2.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.5.2.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.2.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $x (x - 3) (3 x^{2} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3, \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

代数 例

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