代数例

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $\sin (θ)$ を引きます。

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

ステップ 2

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \cos^{2} (θ)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

ステップ 2.2

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

ステップ 2.3

$- 2$ を $2 \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

ステップ 2.4

$- 2$ を $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ で因数分解します。

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

ステップ 3

$θ$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$u = \sin (θ)$ とします。 $u$ を $\sin (θ)$ に代入します。

$- 2 u^{2} - u = 0$

ステップ 3.1.2

$u$ を $- 2 u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

$u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$u (- 2 u) - u = 0$

ステップ 3.1.2.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.3

$u$ を $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (- 2 u - 1) = 0$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (θ)$ で置き換えます。

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 3.3

$\sin (θ)$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$\sin (θ)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (θ) = 0$

ステップ 3.3.2

$θ$ について $\sin (θ) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (0)$

ステップ 3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 3.3.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$θ = π - 0$

ステップ 3.3.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$θ = π$

ステップ 3.3.2.5

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3.2.6

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

$- 2 \sin (θ) - 1$ を $0$ に等しくし、 $θ$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$- 2 \sin (θ) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$θ$ について $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 \sin (θ) = 1$

ステップ 3.4.2.2

$- 2 \sin (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- 2 \sin (θ) = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$θ = - \frac{π}{6}$

ステップ 3.4.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 3.4.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.4.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 3.4.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$θ = \frac{7 π}{6}$

ステップ 3.4.2.7

$\sin (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.4.2.8.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 3.4.2.8.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.4.2.8.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.2.8.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.4.2.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.4.2.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.8.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 3.4.2.8.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 3.4.2.8.5

新しい角をリストします。

$θ = \frac{11 π}{6}$

ステップ 3.4.2.9

$\sin (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.5

最終解は $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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