代数例

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log (x (2 - x)) = 1$

ステップ 2.1.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

ステップ 2.1.2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

ステップ 2.1.2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

ステップ 2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

ステップ 2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\log (2 x - x^{2}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式を $2 x - x^{2} = 10^{1}$ として書き換えます。

$2 x - x^{2} = 10$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

ステップ 2.3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.4

$a = - 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 10$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

$4$ に $- 10$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.3

$4$ から $40$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.5

$\sqrt{- 1 (36)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.7

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

ステップ 2.3.5.3

$\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm 3 i$

ステップ 2.3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

ステップ 3

$\log (2 x - x^{2}) - 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\log (2 x - x^{2})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$2 x - x^{2} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$2 x - x^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ を $2 x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

ステップ 3.2.2.3

$x$ を $x \cdot 2 + x (- x)$ で因数分解します。

$x (2 - x) = 0$

ステップ 3.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 3.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.5

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 3.2.5.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 3.2.5.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 3.2.6

最終解は $x (2 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 3.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 3.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

ステップ 3.2.8.1.3

左辺 $- 8$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.8.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 3.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

ステップ 3.2.8.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.2.8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

ステップ 3.2.8.3.3

左辺 $- 8$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 3.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 2$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, 2)$

ステップ 4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

ステップ 5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 5.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

ステップ 5.2.3

左辺 $0$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 5.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

ステップ 5.3.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.3.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 2$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 2$

区間記号：

$(0, 2)$

ステップ 8

代数 例

代数例