代数例

$3^{x + 1} + 3^{3 - x} = 30$

ステップ 1

$3^{x + 1}$ を $3^{x} \cdot 3^{1}$ に書き換えます。

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3 - x} = 30$

ステップ 2

$3^{3 - x}$ を $3^{3} \cdot 3^{- x}$ に書き換えます。

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot 3^{- x} = 30$

ステップ 3

$3^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 30$

ステップ 4

$u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u \cdot 3 + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$3 \cdot u + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

ステップ 5.2

$3$ を $3$ 乗します。

$3 u + 27 \cdot u^{- 1} = 30$

ステップ 5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 u + 27 \cdot \frac{1}{u} = 30$

ステップ 5.4

$27$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$3 u + \frac{27}{u} = 30$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 6.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 6.2

$3 u + \frac{27}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.2.1

$3 u + \frac{27}{u} = 30$ の各項に $u$ を掛けます。

$3 u \cdot u + \frac{27}{u} u = 30 u$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$3 (u \cdot u) + \frac{27}{u} u = 30 u$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$3 u^{2} + 27 = 30 u$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $30 u$ を引きます。

$3 u^{2} + 27 - 30 u = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$3$ を $3 u^{2} + 27 - 30 u$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$3$ を $3 u^{2}$ で因数分解します。

$3 (u^{2}) + 27 - 30 u = 0$

ステップ 6.3.2.1.2

$3$ を $27$ で因数分解します。

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 - 30 u = 0$

ステップ 6.3.2.1.3

$3$ を $- 30 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 + 3 (- 10 u) = 0$

ステップ 6.3.2.1.4

$3$ を $3 u^{2} + 3 \cdot 9$ で因数分解します。

$3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u) = 0$

ステップ 6.3.2.1.5

$3$ を $3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u)$ で因数分解します。

$3 (u^{2} + 9 - 10 u) = 0$

ステップ 6.3.2.2

因数分解。

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ステップ 6.3.2.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} + 9 - 10 u$ を因数分解します。

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ステップ 6.3.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 6.3.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((u - 9) (u - 1)) = 0$

ステップ 6.3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (u - 9) (u - 1) = 0$

ステップ 6.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 6.3.4

$u - 9$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.1

$u - 9$ が $0$ に等しいとします。

$u - 9 = 0$

ステップ 6.3.4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$u = 9$

ステップ 6.3.5

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.5.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 6.3.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 6.3.6

最終解は $3 (u - 9) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 9, 1$

ステップ 7

$9$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$9 = 3^{x}$

ステップ 8

$9 = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $3^{x} = 9$ として書き換えます。

$3^{x} = 9$

ステップ 8.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{2}$

ステップ 8.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

ステップ 9

$1$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = 3^{x}$

ステップ 10

$1 = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $3^{x} = 1$ として書き換えます。

$3^{x} = 1$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

ステップ 10.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 10.4

右辺を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x \ln (3) = 0$

ステップ 10.5

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.5.1

$x \ln (3) = 0$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

ステップ 10.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.5.3.1

$0$ を $\ln (3)$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 11

方程式が真になるような解をリストします。

$x = 2, 0$

代数 例

代数例