代数例

$x^{2} y - 4 x^{2} - 5 x - 9 y - 6 = 0$

ステップ 1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $4 x^{2}$ を足します。

$x^{2} y - 5 x - 9 y - 6 = 4 x^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $5 x$ を足します。

$x^{2} y - 9 y - 6 = 4 x^{2} + 5 x$

ステップ 1.3

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} y - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 2

$y$ を $x^{2} y - 9 y$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$y x^{2} - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 2.2

$y$ を $- 9 y$ で因数分解します。

$y x^{2} + y \cdot - 9 = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 2.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot - 9$ で因数分解します。

$y (x^{2} - 9) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y (x^{2} - 3^{2}) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$y ((x + 3) (x - 3)) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 5

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ の各項を $(x + 3) (x - 3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ の各項を $(x + 3) (x - 3)$ で割ります。

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.2.2

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 6

$\frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 7.2

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.4

最終解は $(x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 3, - 3}$

ステップ 9

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

ステップ 10

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq 3, - 3}$

値域： $(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty), {y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

ステップ 11

代数 例

代数例