代数例

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\log_{3} (x) - 1$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 1.2

$\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 1.3

対数を無視して、 $n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 1.4

$Q (x)$ が $1$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 1.5

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線がありません

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{3}$ の対数の底 $3$ は $- 1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

方程式として書き換えます。

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

ステップ 2.2.1.2

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ が $1$ に等しくなければ、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{x} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.2.1.3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{- 1}$

ステップ 2.2.1.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = - 1$

ステップ 2.2.1.5

変数 $x$ は $- 1$ に等しいです。

$f (1) = - 1$

ステップ 2.2.2

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 2.3

$- 1$ を10進数に変換します。

$y = - 1$

ステップ 3

$x = 3$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $3$ で割ります。

$f (3) = \log_{3} (1)$

ステップ 3.2.2

$1$ の対数の底 $3$ は $0$ です。

$f (3) = 0$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.3

$0$ を10進数に変換します。

$y = 0$

ステップ 4

$x = 9$ で点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\frac{9}{3}$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

方程式として書き換えます。

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

ステップ 4.2.1.2

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ が $1$ に等しくなければ、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{x} = \frac{9}{3}$

ステップ 4.2.1.3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{1}$

ステップ 4.2.1.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

ステップ 4.2.1.5

変数 $x$ は $1$ に等しいです。

$f (9) = 1$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.3

$1$ を10進数に変換します。

$y = 1$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 0$ における垂直漸近線と点 $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

ステップ 6

代数 例

代数例