代数例

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$

ステップ 1

$2^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = \frac{5}{2}$

ステップ 2

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u + u^{- 1} = \frac{5}{2}$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

ステップ 4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 2$

ステップ 4.1.2

$1, u, 2$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $1, 1, 2$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $u^{1}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 4.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 4.1.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 4.1.5

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 4.1.6

$1, 1, 2$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 4.1.7

$u^{1}$ の因数は $u$ そのものです。

$u^{1} = u$

$u$ は $1$ 回発生します。

ステップ 4.1.8

$u^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$u$

ステップ 4.1.9

$1, u, 2$ の最小公倍数は数値部分 $2$ に変数部分を掛けたものです。

$2 u$

ステップ 4.2

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ の各項に $2 u$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ の各項に $2 u$ を掛けます。

$u (2 u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 u \cdot u + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.2

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$u$ を移動させます。

$2 (u \cdot u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$u$ に $u$ をかけます。

$2 u^{2} + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 u^{2} + 2 \frac{1}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.4

$2$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.5

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.2.1.5.2

式を書き換えます。

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 (u))$

ステップ 4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

ステップ 4.2.3.1.3

式を書き換えます。

$2 u^{2} + 2 = 5 u$

ステップ 4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $5 u$ を引きます。

$2 u^{2} + 2 - 5 u = 0$

ステップ 4.3.2

群による因数分解。

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ステップ 4.3.2.1

項を並べ替えます。

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.3.2.2.1

$- 5$ を $- 5 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 5$ を $- 1$ プラス $- 4$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} - 1 u) - 4 u + 2 = 0$

ステップ 4.3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

ステップ 4.3.2.4

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u - 2) = 0$

ステップ 4.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

ステップ 4.3.4

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 4.3.4.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 4.3.4.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.4.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.5

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 4.3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 4.3.6

最終解は $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, 2$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1}{2} = 2^{x}$

ステップ 6

$\frac{1}{2} = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $2^{x} = \frac{1}{2}$ として書き換えます。

$2^{x} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{x} = \frac{1}{2^{1}}$

ステップ 6.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $2^{1}$ を分子に移動させます。

$2^{x} = 2^{- 1}$

ステップ 6.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = - 1$

ステップ 7

$2$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$2 = 2^{x}$

ステップ 8

$2 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $2^{x} = 2$ として書き換えます。

$2^{x} = 2$

ステップ 8.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{1}$

ステップ 8.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

ステップ 9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = - 1, 1$

代数 例

代数例