代数例

$p (x) = x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

ステップ 1

$x$ を $x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$p (x) = x \cdot x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

ステップ 1.2

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 x$

ステップ 1.3

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) + x (- 2 x) - 4 x$

ステップ 1.4

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) + x (- 2 x) + x \cdot - 4$

ステップ 1.5

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2})$ で因数分解します。

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2}) + x (- 2 x) + x \cdot - 4$

ステップ 1.6

$x$ を $x (x^{4} - 4 x^{2}) + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x) + x \cdot - 4$

ステップ 1.7

$x$ を $x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x) + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4)$

ステップ 2

有理根検定を用いて $x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.3.2

$- 2$ を $4$ 乗します。

$16 - 4 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$16 - 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.3.4

$- 4$ に $4$ をかけます。

$16 - 16 - 2 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.3.5

$16$ から $16$ を引きます。

$0 - 2 \cdot - 2 - 4$

ステップ 2.3.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 4 - 4$

ステップ 2.3.7

$0$ と $4$ をたし算します。

$4 - 4$

ステップ 2.3.8

$4$ から $4$ を引きます。

$0$

ステップ 2.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4}{x + 2}$

ステップ 2.5

$x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

ステップ 2.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

ステップ 2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

ステップ 2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} + 2 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

ステップ 2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

ステップ 2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.5.7

被除数 $- 2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

ステップ 2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

ステップ 2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$

ステップ 2.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$

ステップ 2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									-	$2 x$	-	$4$

ステップ 2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 4$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									+	$2 x$	+	$4$

ステップ 2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									+	$2 x$	+	$4$
												$0$

ステップ 2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} - 2 x^{2} + 0 x - 2$

ステップ 2.6

$x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ を因数の集合として書き換えます。

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 0 x - 2))$

ステップ 3

$0$ に $x$ をかけます。

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 0 - 2))$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} - 2))$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$p (x) = x (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} - 2)$

代数 例

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