代数例

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\log (x)$ をまとめます。

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\log (y)$ をまとめます。

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

ステップ 2

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ の各項に $2$ を掛けます。

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $\log (x + y)$ の左に移動させます。

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

ステップ 2.3.1.3

$2$ を $\log (2)$ の左に移動させます。

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (x + y)$ を簡約します。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (2)$ を簡約します。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

ステップ 4.1.3

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

ステップ 4.1.4

$4$ を $x y$ の左に移動させます。

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

ステップ 5

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1

方程式の両辺から $4 x y$ を引きます。

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

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ステップ 6.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.3.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.3.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

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ステップ 6.1.2.3.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.2.3.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

ステップ 6.1.3

$2 x y$ から $4 x y$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

ステップ 6.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.3

$a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 、および $c = y^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ を ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - 2 y$ であり、 $b = 2 \cdot 1 y$ です。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3

簡約します。

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ステップ 6.4.1.3.1

$2 y$ を $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.3.1.1

$2 y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.1.2

$2 y$ を $2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.1.3

$2 y$ を $2 y (- 1) + 2 y (1)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.3

指数をまとめます。

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ステップ 6.4.1.3.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.3.2

$0$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.4

$y$ を $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.3.4.1

$y$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.4.2

$y$ を $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.4.3

$y$ を $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ で因数分解します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.5

$- 1 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.6

$- 2$ から $2$ を引きます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.7

指数をまとめます。

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ステップ 6.4.1.3.7.1

$0$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.3.7.2

$0$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.1.6

$2 y$ プラスマイナス $0$ は $2 y$ です。

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 y}{2}$

ステップ 6.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.3.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 y}{2}$

ステップ 6.4.3.2

$y$ を $1$ で割ります。

$x = y$

ステップ 6.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = y$ 2乗根

代数 例

代数例