代数例

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 6}}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 7$ です。

$- 6, - 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 4

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}$ を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x + 1}{x - 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

ステップ 5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $- 3$ です。

$- 6, 3$

ステップ 5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x + 1}{x - 6}}{(x - 6) (x + 3)}$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{x + 1}{x - 6} \cdot \frac{1}{(x - 6) (x + 3)})$

ステップ 7

$\frac{x + 1}{x - 6} \cdot \frac{1}{(x - 6) (x + 3)}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$\frac{x + 1}{x - 6}$ に $\frac{1}{(x - 6) (x + 3)}$ をかけます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{(x - 6) ((x - 6) (x + 3))}$

ステップ 7.2

$x - 6$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1} (x - 6) (x + 3)}$

ステップ 7.3

$x - 6$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1} (x + 3)}$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1 + 1} (x + 3)}$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 8

$x^{2} + 2 x + 1$ に $\frac{x + 1}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 9

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 9.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 9.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 9.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 9.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 10

指数を足して ${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ を掛けます。

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ステップ 10.1

${(x + 1)}^{2}$ に $x + 1$ をかけます。

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ステップ 10.1.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x + 1)}^{2 + 1}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

ステップ 10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(x + 1)}^{3}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

代数 例

代数例