代数例

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ と $\log_{12} (4 n^{2})$ をまとめます。

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 2

$\log_{12} (n + 14)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\log_{12} (n + 14)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 4

$2$ を $\log_{12} (n + 14)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 5

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{12} (n + 14)$ を簡約します。

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

ステップ 5.1.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

ステップ 5.1.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

ステップ 5.1.2

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ を $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

ステップ 5.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ を簡約します。

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.4.1

積の法則を $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ に当てはめます。

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.4.2

積の法則を $4 {(n + 14)}^{2}$ に当てはめます。

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.5

式を簡約します。

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ステップ 5.1.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.6.1

共通因数を約分します。

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.6.2

式を書き換えます。

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.7

指数を求めます。

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.8

${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.8.2.2

式を書き換えます。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.9

簡約します。

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.10

分配則を当てはめます。

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.11.1

$2$ に $14$ をかけます。

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

ステップ 5.1.11.2

${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.11.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

ステップ 5.1.11.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.11.2.2.1

共通因数を約分します。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

ステップ 5.1.11.2.2.2

式を書き換えます。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

ステップ 5.1.12

簡約します。

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

ステップ 5.1.13

分配則を当てはめます。

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

ステップ 5.1.14

指数を足して $n$ に $n$ を掛けます。

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ステップ 5.1.14.1

$n$ を移動させます。

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

ステップ 5.1.14.2

$n$ に $n$ をかけます。

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

ステップ 6

対数の定義を利用して $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

ステップ 7

$n$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ として書き換えます。

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

ステップ 7.2

$12$ を $2$ 乗します。

$2 n^{2} + 28 n = 144$

ステップ 7.3

方程式の両辺から $144$ を引きます。

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

ステップ 7.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $2 n^{2} + 28 n - 144$ で因数分解します。

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ステップ 7.4.1.1

$2$ を $2 n^{2}$ で因数分解します。

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

ステップ 7.4.1.2

$2$ を $28 n$ で因数分解します。

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

ステップ 7.4.1.3

$2$ を $- 144$ で因数分解します。

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

ステップ 7.4.1.4

$2$ を $2 n^{2} + 2 (14 n)$ で因数分解します。

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

ステップ 7.4.1.5

$2$ を $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ で因数分解します。

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

ステップ 7.4.2

因数分解。

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ステップ 7.4.2.1

たすき掛けを利用して $n^{2} + 14 n - 72$ を因数分解します。

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ステップ 7.4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 72$ で、その和が $14$ です。

$- 4, 18$

ステップ 7.4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

ステップ 7.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

ステップ 7.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

ステップ 7.6

$n - 4$ を $0$ に等しくし、 $n$ を解きます。

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ステップ 7.6.1

$n - 4$ が $0$ に等しいとします。

$n - 4 = 0$

ステップ 7.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$n = 4$

ステップ 7.7

$n + 18$ を $0$ に等しくし、 $n$ を解きます。

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ステップ 7.7.1

$n + 18$ が $0$ に等しいとします。

$n + 18 = 0$

ステップ 7.7.2

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$n = - 18$

ステップ 7.8

最終解は $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ を真にするすべての値です。

$n = 4, - 18$

ステップ 8

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ が真にならない解を除外します。

$n = 4$

代数 例

代数例