代数例

$f (x) = \frac{1 - x}{2 x}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1 - x}{2 x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1 - x}{2 x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1 - y}{2 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1 - y}{2 y} = x$ として書き換えます。

$\frac{1 - y}{2 y} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y, 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 y$

ステップ 3.3

$\frac{1 - y}{2 y} = x$ の各項に $2 y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{1 - y}{2 y} = x$ の各項に $2 y$ を掛けます。

$\frac{1 - y}{2 y} (2 y) = x (2 y)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1 - y}{2 y} y = x (2 y)$

ステップ 3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$2 \frac{1 - y}{2 (y)} y = x (2 y)$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1 - y}{2 y} y = x (2 y)$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - y}{y} y = x (2 y)$

ステップ 3.3.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - y}{y} y = x (2 y)$

ステップ 3.3.2.3.2

式を書き換えます。

$1 - y = x (2 y)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - y = 2 x y$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$1 - y - 2 x y = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y - 2 x y = - 1$

ステップ 3.4.3

$y$ を $- y - 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \cdot - 1 - 2 x y = - 1$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- 2 x y$ で因数分解します。

$y \cdot - 1 + y (- 2 x) = - 1$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y \cdot - 1 + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$y (- 1 - 2 x) = - 1$

ステップ 3.4.4

$y (- 1 - 2 x) = - 1$ の各項を $- 1 - 2 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (- 1 - 2 x) = - 1$ の各項を $- 1 - 2 x$ で割ります。

$\frac{y (- 1 - 2 x)}{- 1 - 2 x} = \frac{- 1}{- 1 - 2 x}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$- 1 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- 1 - 2 x)}{- 1 - 2 x} = \frac{- 1}{- 1 - 2 x}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{- 1 - 2 x}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{- 1 - 2 x}$

ステップ 3.4.4.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{- 1 (1) - 2 x}$

ステップ 3.4.4.3.3

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- 1 (1) - (2 x)}$

ステップ 3.4.4.3.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 x)$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- 1 (1 + 2 x)}$

ステップ 3.4.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - - \frac{1}{1 + 2 x}$

ステップ 3.4.4.3.5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 1 \frac{1}{1 + 2 x}$

ステップ 3.4.4.3.5.3

$\frac{1}{1 + 2 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{1 + 2 x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}$ が $f (x) = \frac{1 - x}{2 x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{1 + 2 (\frac{1 - x}{2 x})}$

ステップ 5.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{1 + 2 (\frac{1 - x}{2 (x)})}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{1 + 2 (\frac{1 - x}{2 x})}$

ステップ 5.2.3.1.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{1 + \frac{1 - x}{x}}$

ステップ 5.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1 - x}{x}}$

ステップ 5.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{\frac{x + 1 - x}{x}}$

ステップ 5.2.3.4

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

ステップ 5.2.3.5

因数分解した形で $\frac{x - x + 1}{x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{\frac{0 + 1}{x}}$

ステップ 5.2.3.5.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = 1 x$

ステップ 5.2.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1 - x}{2 x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{1 + 2 x})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{1 - (\frac{1}{1 + 2 x})}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{1 + 2 x}{1 + 2 x} - \frac{1}{1 + 2 x}}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{1 + 2 x - 1}{1 + 2 x}}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.3.3

項を並べ替えます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{2 x + 1}}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.3.4

因数分解した形で $\frac{2 x + 1 - 1}{2 x + 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{2 x + 0}{2 x + 1}}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.3.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{2 x}{2 x + 1}}{2 (\frac{1}{1 + 2 x})}$

ステップ 5.3.4

$2$ と $\frac{1}{1 + 2 x}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{\frac{2 x}{2 x + 1}}{\frac{2}{1 + 2 x}}$

ステップ 5.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{1 + 2 x}{2}$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{2 (x)}{2 x + 1} \cdot \frac{1 + 2 x}{2}$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{1 + 2 x}{2}$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 + 2 x)$

ステップ 5.3.7

$\frac{x}{2 x + 1}$ に $1 + 2 x$ をかけます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{x (1 + 2 x)}{2 x + 1}$

ステップ 5.3.8

$1 + 2 x$ と $2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

項を並べ替えます。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 5.3.8.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = \frac{x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

ステップ 5.3.8.3

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{1}{1 + 2 x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}$ は $f (x) = \frac{1 - x}{2 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 + 2 x}$

代数 例

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