代数例

${\log_{5}}^{2} (y) - 7 \log_{5} (y) + 12 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \log_{5} (y)$ とします。 $u$ を $\log_{5} (y)$ に代入します。

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 7 u + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u - 3) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\log_{5} (y)$ で置き換えます。

$(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

ステップ 3

$\log_{5} (y) - 4$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\log_{5} (y) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$\log_{5} (y) - 4 = 0$

ステップ 3.2

$y$ について $\log_{5} (y) - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$\log_{5} (y) = 4$

ステップ 3.2.2

対数の定義を利用して $\log_{5} (y) = 4$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{4} = y$

ステップ 3.2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式を $y = 5^{4}$ として書き換えます。

$y = 5^{4}$

ステップ 3.2.3.2

$5$ を $4$ 乗します。

$y = 625$

ステップ 4

$\log_{5} (y) - 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\log_{5} (y) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$\log_{5} (y) - 3 = 0$

ステップ 4.2

$y$ について $\log_{5} (y) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\log_{5} (y) = 3$

ステップ 4.2.2

対数の定義を利用して $\log_{5} (y) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{3} = y$

ステップ 4.2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 4.2.3.1

方程式を $y = 5^{3}$ として書き換えます。

$y = 5^{3}$

ステップ 4.2.3.2

$5$ を $3$ 乗します。

$y = 125$

ステップ 5

最終解は $(\log_{5} (y) - 4) (\log_{5} (y) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 625, 125$

代数 例

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