代数例

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$

ステップ 1

$\sqrt{x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\arctan (x)$ を引きます。

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{π}{2} - \arctan (x)$

ステップ 1.2

方程式を $\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$ として書き換えます。

$\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$

ステップ 1.3

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$

ステップ 1.4

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.4.2.2

$\arctan (x)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (x) = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1.1

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (x) = - 1 \cdot arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.4.3.1.2

$- 1 \cdot arccot (\sqrt{x})$ を $- arccot (\sqrt{x})$ に書き換えます。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.4.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

ステップ 1.4.3.1.4

$\frac{π}{2}$ を $1$ で割ります。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}$

ステップ 1.5

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $\sqrt{x}$ を取り出します。

$x = \tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2})$

ステップ 1.6

方程式を $\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$ として書き換えます。

$\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$

ステップ 1.7

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $arccot (\sqrt{x})$ を取り出します。

$- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2} = \arctan (x)$

ステップ 1.8

方程式の両辺から $\frac{π}{2}$ を引きます。

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$

ステップ 1.9

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.9.1

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- arccot (\sqrt{x})}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.9.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.9.2.2

$arccot (\sqrt{x})$ を $1$ で割ります。

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.9.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.3.1.1

$\frac{\arctan (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$arccot (\sqrt{x}) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.9.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (x)$ を $- \arctan (x)$ に書き換えます。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

ステップ 1.9.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

ステップ 1.9.3.1.4

$\frac{π}{2}$ を $1$ で割ります。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{π}{2}$

ステップ 1.10

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\sqrt{x}$ from inside the arccotangent.

$\sqrt{x} = \cot (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $\cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$ を引きます。

$x - \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2}) = 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

項を並べ替えます。

$x - \cot^{2} (\frac{π}{2} - \arctan (x)) = 0$

ステップ 4.2.2

角の差の公式を当てはめます。

$x - {(\frac{\cot (\frac{π}{2}) \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$x - {(\frac{0 \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arctan (x))$ は $\frac{1}{x}$ です。

$x - {(\frac{0 (\frac{1}{x}) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.3

$0$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$x - {(\frac{0 + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$x - {(\frac{1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - 0})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} + 0})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.4.4

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x}})}^{2} = 0$

ステップ 4.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$x - {(1 x)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$x - x^{2} = 0$

ステップ 4.3

$x$ を $x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

ステップ 4.3.2

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ を $x \cdot 1 + x (- x)$ で因数分解します。

$x (1 - x) = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.6

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 4.6.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 4.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 4.6.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.6.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.6.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.6.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 4.7

最終解は $x (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 5

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$ が真にならない解を除外します。

$x = 1$

代数 例

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