代数例

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

ステップ 2

$y^{2}$ を $x y^{2} + 3 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

ステップ 2.2

$y^{2}$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

ステップ 2.3

$y^{2}$ を $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

ステップ 3

$y^{2} (x + 3) = x - 1$ の各項を $x + 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$y^{2} (x + 3) = x - 1$ の各項を $x + 3$ で割ります。

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

ステップ 3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ を $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

ステップ 5.2

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ に $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

ステップ 5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ に $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

ステップ 5.3.2

$\sqrt{x + 3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

ステップ 5.3.3

$\sqrt{x + 3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

ステップ 5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

ステップ 5.3.6

${\sqrt{x + 3}}^{2}$ を $x + 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 3}$ を ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

ステップ 5.3.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

ステップ 5.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

ステップ 7

$\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 8.2

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 8.3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8.4

最終解は $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 3$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $21$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.6.2

区間 $- 3 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 3 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $21$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x \geq 1$

ステップ 9

$\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 10

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 11

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 3, x \geq 1}$

ステップ 12

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \neq 1, - 1}$

ステップ 13

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

値域： $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

ステップ 14

代数 例

代数例