代数例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2

公分母を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

ステップ 2.5

$(x - 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.2

$x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.2.2

$x^{2} + x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 4.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{x - 1}$

代数 例

代数例