代数例

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

ステップ 1

$3^{x + 2}$ を $3^{x} \cdot 3^{2}$ に書き換えます。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

ステップ 2

$3^{1 - x}$ を $3^{1} \cdot 3^{- x}$ に書き換えます。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

ステップ 3

$3^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

ステップ 4

$u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

ステップ 5.2

$9$ を $u$ の左に移動させます。

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

ステップ 5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

ステップ 5.4

$3$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

ステップ 6

$u$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 6.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 6.2

$9 u + \frac{3}{u} = 28$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.2.1

$9 u + \frac{3}{u} = 28$ の各項に $u$ を掛けます。

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $28 u$ を引きます。

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

ステップ 6.3.2

群による因数分解。

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ステップ 6.3.2.1

項を並べ替えます。

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ で和が $b = - 28$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.3.2.2.1

$- 28$ を $- 28 u$ で因数分解します。

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.2.2

$- 28$ を $- 1$ プラス $- 27$ に書き換える

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

ステップ 6.3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

ステップ 6.3.2.4

最大公約数 $9 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

ステップ 6.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

ステップ 6.3.4

$9 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.1

$9 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 u - 1 = 0$

ステップ 6.3.4.2

$u$ について $9 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 u = 1$

ステップ 6.3.4.2.2

$9 u = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.4.2.2.1

$9 u = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 6.3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.4.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 6.3.4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{9}$

ステップ 6.3.5

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 6.3.5.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 6.3.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 6.3.6

最終解は $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{9}, 3$

ステップ 7

$\frac{1}{9}$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

ステップ 8

$\frac{1}{9} = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $3^{x} = \frac{1}{9}$ として書き換えます。

$3^{x} = \frac{1}{9}$

ステップ 8.2

$9$ を $1$ 乗します。

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

ステップ 8.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $9^{1}$ を分子に移動させます。

$3^{x} = 9^{- 1}$

ステップ 8.4

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{- 2}$

ステップ 8.5

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = - 2$

ステップ 9

$3$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 = 3^{x}$

ステップ 10

$3 = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $3^{x} = 3$ として書き換えます。

$3^{x} = 3$

ステップ 10.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{1}$

ステップ 10.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

ステップ 11

方程式が真になるような解をリストします。

$x = - 2, 1$

ステップ 12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 13.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 13.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

ステップ 13.1.3

左辺 $243.\overline{1}$ は右辺 $28$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.2

区間 $- 2 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.2.1

区間 $- 2 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 13.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

ステップ 13.2.3

左辺 $12$ は右辺 $28$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 13.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 13.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 13.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

ステップ 13.3.3

左辺 $729.\overline{037}$ は右辺 $28$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 13.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 14

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $x > 1$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 2 or x > 1$

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

ステップ 16

代数 例

代数例