代数例

$8 \sqrt[3]{2 x} = 4 x$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(8 \sqrt[3]{2 x})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

${(8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2

$8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(2^{\frac{1}{3} + 3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

${(2^{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.4

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

${(2^{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

${(2^{\frac{1 + 3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.6.1

$3$ に $3$ をかけます。

${(2^{\frac{1 + 9}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2.6.2

$1$ と $9$ をたし算します。

${(2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.3

積の法則を $2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

${(2^{\frac{10}{3}})}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.4

${(2^{\frac{10}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

$2^{10} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.5

$2$ を $10$ 乗します。

$1024 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.6

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.6.2.2

式を書き換えます。

$1024 x^{1} = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.2.1.7

簡約します。

$1024 x = {(4 x)}^{3}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${(4 x)}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$1024 x = 4^{3} x^{3}$

ステップ 2.3.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$1024 x = 64 x^{3}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $64 x^{3}$ を引きます。

$1024 x - 64 x^{3} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$64 x$ を $1024 x - 64 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$64 x$ を $1024 x$ で因数分解します。

$64 x (16) - 64 x^{3} = 0$

ステップ 3.2.1.2

$64 x$ を $- 64 x^{3}$ で因数分解します。

$64 x (16) + 64 x (- x^{2}) = 0$

ステップ 3.2.1.3

$64 x$ を $64 x (16) + 64 x (- x^{2})$ で因数分解します。

$64 x (16 - x^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$64 x (4^{2} - x^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

因数分解。

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ステップ 3.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = x$ です。

$64 x ((4 + x) (4 - x)) = 0$

ステップ 3.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$64 x (4 + x) (4 - x) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$4 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$4 + x$ が $0$ に等しいとします。

$4 + x = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 3.6

$4 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$4 - x$ が $0$ に等しいとします。

$4 - x = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $4 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 3.6.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.6.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 3.7

最終解は $64 x (4 + x) (4 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 4$

代数 例

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