代数例

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{8}{x}$ を引きます。

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

ステップ 2

$| x - 2 | - \frac{8}{x}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$| x - 2 |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

ステップ 2.3

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x | x - 2 | = 8$

ステップ 5

$x | x - 2 | = 8$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$x | x - 2 | = 8$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

ステップ 5.2.1.2

$| x - 2 |$ を $1$ で割ります。

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

ステップ 6

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x - 2 = \frac{8}{x}$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = \frac{8}{x} + 2$

ステップ 7.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 7.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 7.4

$x = \frac{8}{x} + 2$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$x = \frac{8}{x} + 2$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.4.3.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 8 + 2 x$

ステップ 7.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = 8$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 7.5.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 7.5.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 7.5.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 2) = 0$

ステップ 7.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 7.5.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 7.5.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7.5.6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 7.5.6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7.5.7

最終解は $(x - 4) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 2$

ステップ 7.6

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

ステップ 7.7

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = - \frac{8}{x} + 2$

ステップ 7.8

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.8.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 7.8.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 7.9

$x = - \frac{8}{x} + 2$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.9.1

$x = - \frac{8}{x} + 2$ の各項に $x$ を掛けます。

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.9.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.9.3.1.1

$- \frac{8}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.9.3.1.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

ステップ 7.9.3.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} = - 8 + 2 x$

ステップ 7.10

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x = - 8$

ステップ 7.10.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

ステップ 7.10.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.10.4

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5

簡約します。

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ステップ 7.10.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.10.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.2.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.3

$4$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.4

$- 28$ を $- 1 (28)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.5

$\sqrt{- 1 (28)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.7

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 7.10.5.1.7.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.10.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 7.10.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

ステップ 7.10.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

ステップ 7.11

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 4, - 2$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, 4, - 2$

ステップ 10

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 10.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

ステップ 12.1.3

左辺 $6$ は右辺 $- 2$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

ステップ 12.2.3

左辺 $3$ は右辺 $- 8$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.3

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

ステップ 12.3.3

左辺 $0$ は右辺 $4$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

ステップ 12.4.3

左辺 $4$ は右辺 $1.\overline{3}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 4$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$0 < x < 4$

区間記号：

$(0, 4)$

ステップ 15

代数 例

代数例