代数例

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.3

$5$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.5

$10$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.7

$10$ に $- 1$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.9

$10$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.10

$i^{2}$ を因数分解します。

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.11

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.12

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.13

$- 1$ に $10$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.14

$5$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.15

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.15.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.15.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.16

$5$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.17

$i^{4}$ を因数分解します。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.18

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.18.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.18.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.18.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.1.19

$i$ に $1$ をかけます。

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $10$ を引きます。

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.2.2

$- 9$ と $5$ をたし算します。

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.2.3

$5 i$ から $10 i$ を引きます。

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 2.2.4

$- 5 i$ と $i$ をたし算します。

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

ステップ 3

二項定理を利用します。

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.3

$5$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.6

$10$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.7

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.9

$i^{2}$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.10

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.11

$10$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.13

$10$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.14

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.15

$- 1$ を $3$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.16

$i^{2}$ を因数分解します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.17

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.18

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.20

$i$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.21

$5$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.22

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.23

$- 1$ を $4$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.24

$i^{4}$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.25

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.25.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.25.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.25.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.26

$5$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

ステップ 4.1.27

積の法則を $- i$ に当てはめます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

ステップ 4.1.28

$- 1$ を $5$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

ステップ 4.1.29

$i^{4}$ を因数分解します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

ステップ 4.1.30

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.30.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

ステップ 4.1.30.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

ステップ 4.1.30.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

ステップ 4.1.31

$i$ に $1$ をかけます。

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

ステップ 4.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ から $10$ を引きます。

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

ステップ 4.2.2

$- 9$ と $5$ をたし算します。

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

ステップ 4.2.3

$- 5 i$ と $10 i$ をたし算します。

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

ステップ 4.2.4

$5 i$ から $i$ を引きます。

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

ステップ 6.1.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

ステップ 6.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

ステップ 6.1.4

$- 4 i (4 i)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

ステップ 6.1.4.2

$i$ を $1$ 乗します。

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

ステップ 6.1.4.3

$i$ を $1$ 乗します。

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

ステップ 6.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

ステップ 6.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

ステップ 6.1.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

ステップ 6.1.6

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$16 - 16 i + 16 i + 16$

ステップ 6.2

$16$ と $16$ をたし算します。

$32 - 16 i + 16 i$

ステップ 6.3

$- 16 i$ と $16 i$ をたし算します。

$32 + 0$

ステップ 6.4

$32$ と $0$ をたし算します。

$32$

代数 例

代数例