代数例

$\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 \frac{1}{2}$ を仮分数に変換します。

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ステップ 1.1.1.1

帯分数は分数の整数部分と分数部分のたし算です。

$\frac{1}{8} x^{3} + (1 + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1.1.1.2

$1$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{8} x^{3} + (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1.1.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{2 + 1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{8}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3 x^{2}}{4} + 1$

ステップ 3

方程式の両辺から $\frac{3 x^{2}}{4}$ を引きます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$

ステップ 4

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ の各項に $8$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.1

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ の各項に $8$ を掛けます。

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 (4)) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + 3 x \cdot 4 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.3

$4$ に $3$ をかけます。

$x^{3} + 12 x - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.4.1

$- \frac{3 x^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.4.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 (2)) = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 \cdot 2) = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.4.4

式を書き換えます。

$x^{3} + 12 x - 3 x^{2} \cdot 2 = 1 \cdot 8$

ステップ 4.2.1.5

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 1 \cdot 8$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$8$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 8$

ステップ 5

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 6

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.1

項を並べ替えます。

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = 0$

ステップ 6.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 6.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 6.2.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 6.2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 6.2.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 6.2.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 6.2.3.5

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 6.2.3.6

$12$ に $2$ をかけます。

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 6.2.3.7

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 6.2.3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 6.2.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

ステップ 6.2.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 6.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

ステップ 6.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

ステップ 6.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 6.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 6.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 6.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 6.2.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 6.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 6.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 6.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

ステップ 6.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 6.2.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 6.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 6.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 6.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

ステップ 6.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 6.2.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 6.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 6.3.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.3.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 8

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 9

最終解は $(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

代数 例

代数例