代数例

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 5}$ を ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${(x - 1)}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

二項定理を利用します。

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.3.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

ステップ 2.3.1.2.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

ステップ 3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

ステップ 3.2.2

$3 x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

ステップ 3.4

$- 1$ から $5$ を引きます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.5.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.5.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

ステップ 3.5.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

ステップ 3.5.2

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 3.7

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.8

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 3.8.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.8.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 3.8.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 3.8.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 3.8.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 3.8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 3.8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 3.8.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.8.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 3.8.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 3.8.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 3.9

最終解は $(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

代数 例

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