代数例

$x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} \leq 0$

ステップ 1

$x^{2}$ を $x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 6 x^{2} \leq 0$

ステップ 1.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 6 x^{2} \leq 0$

ステップ 1.3

$x^{2}$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 \leq 0$

ステップ 1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 6 \leq 0$

ステップ 1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 6$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} + x - 6) \leq 0$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x^{2} ((x - 2) (x + 3)) \leq 0$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x - 2) (x + 3) \leq 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

最終解は $x^{2} (x - 2) (x + 3) \leq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 3$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} ((- 6) - 2) ((- 6) + 3) \leq 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $864$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} ((- 2) - 2) ((- 2) + 3) \leq 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{2} ((1) - 2) ((1) + 3) \leq 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} ((4) - 2) ((4) + 3) \leq 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $224$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 0$ または $0 \leq x \leq 2$

ステップ 11

区間をまとめます。

$- 3 \leq x \leq 2$

ステップ 12

代数 例

代数例