代数例

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

ステップ 1

$3$ と $- x$ を並べ替えます。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

ステップ 2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

ステップ 2.2.2

共通因数を約分します。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

ステップ 2.2.3

式を書き換えます。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

ステップ 3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

ステップ 4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

ステップ 4.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

ステップ 4.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

ステップ 4.1.5

$\frac{x^{2}}{- x + 3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

ステップ 4.1.6

$4$ を $- x + 3$ の左に移動させます。

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

ステップ 6

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

ステップ 7

$e^{0} (4 (- x + 3))$ を簡約します。

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ステップ 7.1

式を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

ステップ 7.1.2

$4 (- x + 3)$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

ステップ 7.3

掛け算します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

ステップ 7.3.2

$4$ に $3$ をかけます。

$x^{2} = - 4 x + 12$

ステップ 8

方程式の両辺に $4 x$ を足します。

$x^{2} + 4 x = 12$

ステップ 9

$x$ を $x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + 4 x = 12$

ステップ 9.2

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

ステップ 9.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 4$ で因数分解します。

$x (x + 4) = 12$

ステップ 10

$x (x + 4)$ を簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

ステップ 10.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

ステップ 10.2.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 4 x = 12$

ステップ 11

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

ステップ 12

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 12.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $4$ です。

$- 2, 6$

ステップ 12.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 6) = 0$

ステップ 13

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 14

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 15

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 15.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 15.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 16

最終解は $(x - 2) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 6$

ステップ 17

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ が真にならない解を除外します。

$x = 2$

代数 例

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