代数例

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \div \frac{x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} + 5 x}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 2.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 3.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $1$ で割ります。

$(x + 3) (x - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(x (x - 3) + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1

$x \cdot - 3$ と $3 x$ について因数を並べ替えます。

$(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5.1.2

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5.2

$x$ を $x^{2} + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5.2.2

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 5.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 5$ で因数分解します。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

ステップ 6

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x^{2} + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 7.1.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 7.2

項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

ステップ 7.2.1.2

式を書き換えます。

$(x^{2} - 9) \frac{x}{x - 3}$

ステップ 7.2.2

$x^{2} - 9$ に $\frac{x}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 9) x}{x - 3}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) x}{x - 3}$

ステップ 8.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

ステップ 9

項を簡約します。

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ステップ 9.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

ステップ 9.1.2

$(x + 3) x$ を $1$ で割ります。

$(x + 3) x$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + 3 x$

ステップ 9.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 3 x$

代数 例

代数例