代数例

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

$x^{2} - x - 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ を展開します。

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

ステップ 2.2

$\ln (\frac{1}{2})$ を $\ln (1) - \ln (2)$ に書き換えます。

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 2.4

$0$ から $\ln (2)$ を引きます。

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- x (- \ln (2))$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 3.1.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

ステップ 3.1.3

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = - \ln (2)$ 、 $b = \ln (2)$ 、および $c = 2 \ln (2)$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\ln (2)$ を $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

$\ln (2)$ を $\ln^{2} (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.1.2

$\ln (2)$ を $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.1.3

$\ln (2)$ を $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.2

$\ln (2)$ を $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.2.2

$\ln (2)$ を $\ln^{1} (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.2.3

$\ln (2)$ を $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.2.4

$\ln (2)$ を $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.3

$- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 7.1.3.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.4

$1$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.5

指数をまとめます。

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ステップ 7.1.5.1

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.5.2

$\ln (2)$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.6

$\ln^{2} (2) \cdot 9$ を ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.1.8

$3$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

ステップ 7.3

$\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ を簡約します。

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2, - 1$

代数 例

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