代数例

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 3

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x + 1}{1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 3.2.4

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 5.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$(x + 1) (x + 1)$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + x + 1$

ステップ 7.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 2 x + 1$

代数 例

代数例