代数例

$y = 4^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 4^{\frac{y}{2}}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $4^{\frac{y}{2}} = x$ として書き換えます。

$4^{\frac{y}{2}} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{y}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{\frac{y}{2}})$ を展開します。

$\frac{y}{2} \ln (4) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$\frac{y}{2}$ と $\ln (4)$ をまとめます。

$\frac{y \ln (4)}{2} = \ln (x)$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $\frac{2}{\ln (4)}$ を掛けます。

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (4)} (y \ln (4)) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5.1.1.2

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1.2.1

$\ln (4)$ を $y \ln (4)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$\frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$y = \frac{2}{\ln (2^{2})} \ln (x)$

ステップ 2.5.2.1.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

ステップ 2.5.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

ステップ 2.5.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{\ln (2)} \ln (x)$

ステップ 2.5.2.1.4

$\frac{1}{\ln (2)}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ が $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}} = \frac{\ln (4^{\frac{x}{2}})}{\ln (2)}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}{2}}$

ステップ 4.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1

$\frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2) \cdot 2}}$

ステップ 4.3.4.2

$\ln (2)$ と $2$ を並べ替えます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}}$

ステップ 4.3.4.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (2)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

ステップ 4.3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

ステップ 4.3.6

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\log_{4} (x)}$

ステップ 4.3.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ は $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

代数 例

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