代数例

$(\frac{1}{(x - 1)} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} + x + 1}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - 5 x + 4}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $- 5$ です。

$- 4, - 1$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 4

$\frac{1}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ を掛けます。

$(\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ をかけます。

$(\frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$(\frac{x^{2} + x + 1 - 3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 5.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 6.1.3

多項式を書き換えます。

$(\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6.2

${(x - 1)}^{2}$ と $x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$(\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 1 - 3}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 7.3

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

ステップ 7.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

ステップ 7.4

$x^{2} + x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x - 1}$

代数 例

代数例