代数例

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan (a)$ であり、 $b = \sin (a)$ です。

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

正弦と余弦に関して $\tan (a)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.2

$\sin (a)$ を $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sin (a)$ を $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ で因数分解します。

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.2.3

$\sin (a)$ を $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.3

正弦と余弦に関して $\tan (a)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.4

$\sin (a)$ を $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1

$\sin (a)$ を $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.4.2

$\sin (a)$ を $- \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.4.3

$\sin (a)$ を $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.5

指数をまとめます。

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ステップ 1.2.5.1

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.5.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 1.2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (a)$ を書き換えます。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

ステップ 3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

ステップ 4

$\sin^{2} (a)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$\sin^{2} (a)$ を $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ で因数分解します。

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{1}{\cos (a)}$ に $\frac{1}{\cos (a)}$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.1.2

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.1.3

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.2

$\frac{1}{\cos (a)}$ と $- 1$ をまとめます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.4

$\frac{1}{\cos (a)}$ に $1$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.2

$- \frac{1}{\cos (a)}$ と $\frac{1}{\cos (a)}$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ と $0$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

ステップ 7.2

$\cos^{2} (a)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

ステップ 7.3

$- 1 \cos^{2} (a)$ を $- \cos^{2} (a)$ に書き換えます。

$1 - \cos^{2} (a)$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sin^{2} (a)$

代数 例

代数例