代数例

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 8} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 2^{3}} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 1.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 2

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 3.2

$(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 2) (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.2.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 5.3

$- 4 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

ステップ 6

$\frac{1}{x - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ を掛けます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{x - 2}$ に $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 4 + x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 4 + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.2

$- 10 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 4 + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.4

$2$ を $2 x^{2} - 8 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.4.2

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.4.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.4.4

$2$ を $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.4.5

$2$ を $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 8.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 8.5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 8.5.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 9

${(x - 2)}^{2}$ と $x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

$x - 2$ を $2 {(x - 2)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} + 2 x + 4}$

代数 例

代数例