代数例

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$7$ を $7 y$ で因数分解します。

$\frac{2 y^{2} + 7 (y) + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.1.2

$7$ を $1$ プラス $6$ に書き換える

$\frac{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $2 y + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1^{3}} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 1.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ に $\frac{y - 1}{y - 1}$ をかけます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - (\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}) - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 2.2

$\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ に $\frac{y - 1}{y - 1}$ をかけます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3}{y - 1}$

ステップ 2.3

$\frac{3}{y - 1}$ に $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ をかけます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - (\frac{3}{y - 1} \cdot \frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1})$

ステップ 2.4

$\frac{3}{y - 1}$ に $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ をかけます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 2.5

$(y^{2} + y + 1) (y - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 y + 1) (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 y + 1) (y + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y (y + 3) + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$y$ を移動させます。

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2.1.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.2.2

$6 y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 \cdot 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 + 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + 2 y) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 (y - 1) + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.1

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7.1.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1.3.1

$y$ を移動させます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7.1.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} - 2 y - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.7.2

$- y$ から $2 y$ を引きます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.8

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3 \cdot 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 4.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.1.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y + 0}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.1.2

$2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.2

$2 y^{2}$ と $2 y^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.3

$4 y^{2}$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$\frac{y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.4

$7 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{y^{2} + 4 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.5

$4 y$ から $3 y$ を引きます。

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.6

$y^{2} + y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

ステップ 5.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1}$

代数 例

代数例