代数例

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x = 11$

ステップ 1

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x$ を簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2} - 11 x = 11$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x = 11$

ステップ 1.2

$- 11 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x \cdot \frac{2}{2} = 11$

ステップ 1.3

項を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 11 x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{- 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 1 - 11 x \cdot 2}{2} = 11$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 11$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 1 - 22 x}{2} = 11$

ステップ 1.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} = 11$

ステップ 2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} \cdot 2 = 11 \cdot 2$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} \cdot 2 = 11 \cdot 2$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 22 x - 1 = 11 \cdot 2$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$11$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - 22 x - 1 = 22$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $22$ を引きます。

$x^{2} - 22 x - 1 - 22 = 0$

ステップ 4.2

$- 1$ から $22$ を引きます。

$x^{2} - 22 x - 23 = 0$

ステップ 4.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 22 x - 23$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 23$ で、その和が $- 22$ です。

$- 23, 1$

ステップ 4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 23) (x + 1) = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 23 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.5

$x - 23$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x - 23$ が $0$ に等しいとします。

$x - 23 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $23$ を足します。

$x = 23$

ステップ 4.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.7

最終解は $(x - 23) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 23, - 1$

代数 例

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