代数例

$- 2 \sin^{2} (θ) + \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 2 \sin^{2} (θ)$ を $- 2 (1 - \cos^{2} (θ))$ で置き換えます。

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (θ)) + \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) + 1 = 0$

ステップ 3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

ステップ 4

$u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

ステップ 5

群による因数分解。

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ステップ 5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.1.1

$1$ を掛けます。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

ステップ 5.1.2

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

ステップ 5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

ステップ 5.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 7

$2 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 7.1

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 7.2

$u$ について $2 u - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 7.2.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 8

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 9

最終解は $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 10

$\cos (θ)$ を $u$ に代入します。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 11

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = - 1$

ステップ 12

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$θ = \frac{π}{3}$

ステップ 12.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 12.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 12.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$θ = \frac{5 π}{3}$

ステップ 12.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$\cos (θ) = - 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (- 1)$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$θ = π$

ステップ 13.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$θ = 2 π - π$

ステップ 13.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$θ = π$

ステップ 13.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

すべての解をまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

答えをまとめます。

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

代数 例

代数例