代数例

$f (x) = \frac{2 x + 2}{x^{3} + x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{2 x + 2}{x^{3} + x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} + x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x + x^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$1$ を掛けます。

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$x^{2} (x + 1) = 0$

$x^{2} (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 2.5

最終解は $x^{2} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

$x = 0, - 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0, - 1}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y > 0}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 1}$

値域： $(0, \infty), {y | y > 0}$

ステップ 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$