代数例

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

ステップ 1

$\tan^{2} (x) - \sec (x)$ を平方数の差に書き換えます。

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan (x)$ であり、 $b = \sqrt{\sec (x)}$ です。

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

ステップ 3

$\sqrt{\sec (x)}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1.1

$\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ と $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ について因数を並べ替えます。

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.1.2

$- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ と $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ をたし算します。

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.1.3

$\tan (x) \tan (x)$ と $0$ をたし算します。

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.2.1

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.2.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.3

指数を足して $\sqrt{\sec (x)}$ に $\sqrt{\sec (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.2.3.1

$\sqrt{\sec (x)}$ を移動させます。

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

ステップ 3.1.1.2.2.3.2

$\sqrt{\sec (x)}$ に $\sqrt{\sec (x)}$ をかけます。

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $\tan^{2} (x)$ を引きます。

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

ステップ 3.3

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ を $1$ で割ります。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

ステップ 3.3.3.1.3

$\tan^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

ステップ 3.5.1.2

$- 1^{2}$ と $\tan^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

ステップ 3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

ステップ 4

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sec (x)}$ を ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

簡約します。

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ を $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ を ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.2.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.2.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

ステップ 4.2.3.1.1.5

簡約します。

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

ステップ 4.2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

ステップ 4.2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

ステップ 4.2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.1.1

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.1.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.2

$- 1$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.3

$- 1 \tan (x)$ を $- \tan (x)$ に書き換えます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.4

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.2

$- \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.3

$\tan^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\tan^{2} (x)$ を引きます。

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

ステップ 4.3.2

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $- \tan^{2} (x)$ を $- (\sec^{2} (x) - 1)$ で置き換えます。

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

ステップ 4.3.4

多項式を並べ替えます。

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

ステップ 4.3.5

$u$ を $\sec (x)$ に代入します。

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

ステップ 4.3.6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

ステップ 4.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

ステップ 4.3.8

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

$- 1$ を $- u^{2} + u + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

ステップ 4.3.8.1.2

$- 1$ を $u$ で因数分解します。

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

ステップ 4.3.8.1.3

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 4.3.8.1.4

$- 1$ を $- u^{2} - 1 (- u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 4.3.8.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

ステップ 4.3.8.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 4.3.8.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

ステップ 4.3.8.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 4.3.9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 4.3.10

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.10.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 4.3.10.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 4.3.11

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 4.3.11.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 4.3.12

最終解は $- (u - 2) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, - 1$

ステップ 4.3.13

$\sec (x)$ を $u$ に代入します。

$\sec (x) = 2, - 1$

ステップ 4.3.14

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

ステップ 4.3.15

$\sec (x) = 2$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (2)$

ステップ 4.3.15.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.2.1

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.15.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.15.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.15.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 4.3.15.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 4.3.15.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 4.3.15.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 4.3.15.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.3.15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.3.15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.3.15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.3.15.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.3.16

$\sec (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.16.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- 1)$

ステップ 4.3.16.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.16.2.1

$arcsec (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 4.3.16.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 4.3.16.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.3.16.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.16.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.3.16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.3.16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.3.16.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.3.16.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.3.17

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.3.18

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sec (x)}$ を ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約します。

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

累乗根で指数を約分し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

積の法則を $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ に当てはめます。

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.2.2

${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.3

${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ を $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ を ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 5.2.3.1.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

ステップ 5.2.3.1.1.3.5

簡約します。

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

ステップ 5.2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

ステップ 5.2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

ステップ 5.2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1.1

$\tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1.1.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.1.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.2

$- 1$ を $\tan (x)$ の左に移動させます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.3

$- 1 \tan (x)$ を $- \tan (x)$ に書き換えます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.4

$\tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.2

$- \tan (x)$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

ステップ 5.2.3.1.3.3

$\tan^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

ステップ 5.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $\tan^{2} (x)$ を引きます。

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

ステップ 5.3.2

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $- \tan^{2} (x)$ を $- (\sec^{2} (x) - 1)$ で置き換えます。

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

ステップ 5.3.4

多項式を並べ替えます。

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

ステップ 5.3.5

$u$ を $\sec (x)$ に代入します。

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

ステップ 5.3.6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

ステップ 5.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

ステップ 5.3.8

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$- 1$ を $- u^{2} + u + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

ステップ 5.3.8.1.2

$- 1$ を $u$ で因数分解します。

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

ステップ 5.3.8.1.3

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 5.3.8.1.4

$- 1$ を $- u^{2} - 1 (- u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

ステップ 5.3.8.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

ステップ 5.3.8.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 5.3.8.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

ステップ 5.3.8.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 5.3.9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 5.3.10

$u - 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

$u - 2$ が $0$ に等しいとします。

$u - 2 = 0$

ステップ 5.3.10.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u = 2$

ステップ 5.3.11

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 5.3.11.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 5.3.12

最終解は $- (u - 2) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 2, - 1$

ステップ 5.3.13

$\sec (x)$ を $u$ に代入します。

$\sec (x) = 2, - 1$

ステップ 5.3.14

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

ステップ 5.3.15

$\sec (x) = 2$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (2)$

ステップ 5.3.15.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.2.1

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.3.15.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 5.3.15.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.3.15.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.3.15.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.3.15.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 5.3.15.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.3.15.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.3.15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.3.15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.3.15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.3.15.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.16

$\sec (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.16.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- 1)$

ステップ 5.3.16.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.16.2.1

$arcsec (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 5.3.16.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 5.3.16.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.3.16.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.16.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.3.16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.3.16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.3.16.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.3.16.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.17

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.18

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

代数 例

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